aethermeister (![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small} aethermeister) wrote,@ 2006-04-03 19:39:00 |
|
Плоская электромагнитная волна
Уравнение Максвелла в потенциалах
(1) (1/c)∂tA + E + gradφ = 0
Полагая φ=const, имеем из (1)
(2) E = – (1/c)∂tA
Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x. Тогда, если
(3) Ey = E0sin(kx–ωt)
получаем из (2)
(4) Ay = – A0cos(kx–ωt) = A0sin(kx–ωt+3π/2)
(5) A0 = E0c/ω
Из сравнения (3) и (4) видим, что магнитный вектор-потенциал отстает от электрического поля на четверть фазы.
Магнитное поле для плоской волны
(6) H = rotA = (∂yAz–∂zAy, ∂zAx–∂xAz, ∂xAy–∂yAx) = (0, 0, ∂xAy)
Подставляя (4) в (6)
(7) Hz = kA0sin(kx–ωt)
Из сравнения (3) и (7) видно, что в плоской волне электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу и синфазны.
Рассматривая полную систему уравнений Максвелла, описывающую электромагнитную волну, можно найти зависимость частоты ω от волнового числа k. Беря ротор (1), получаем
(8) rotE = –(1/c)∂tH
Второе уравнение Максвелла
(9) rotH = (1/c)∂tE
Применяя выражение (6) для ротора к электрическому полю и
подставляя его в (8)
(10) ∂xEy = –(1/c)∂tHz
Аналогично уравнение (9) будет
(11) – ∂xHz = (1/c)∂tEy
Ищем частное решение уравнений (10), (11) в виде
(12) Ey = E0exp[i(kx–ωt)]
(13) Hz = H0exp[i(kx–ωt)]
Подставляя (12) и (13) в (10) и (11), находим закон дисперсии для волны в вакууме
(14) ω = kc
и равенство амплитуд
(15) E0 = H0
Бегущая электромагнитная волна описывается следующими формами, удовлетворяющими уравнениям (10) и (11),
(16) Ey' = E0sin[k(x–ct)]
(17) Hz' = E0sin[k(x–ct)]
и
(18) Ey'' = E0sin[k(x+ct)]
(19) Hz'' = E0sin[k(x+ct)+π]
Для моделирования стоячей волны возьмем суперпозицию (16), (17) и (18), (19):
(20) Ey = Ey'+Ey''= E0{sin[k(x–ct)]+sin[k(x+ct)]} =
= 2E0sin(kx)cos(kct))
(21) Hz = Hz'+Hz''= E0{sin[k(x–ct)]+sin[k(x+ct)+π]} =
= 2E0sin(kx+π/2)cos(kct+π/2)
Согласно (20) и (21), в стоячей волне электрическое и магнитное поля сдвинуты на π/2.
Иногда привлекают аналогию с механическим маятником, истолковывая сдвиг по фазе в (20) и (21), как свидетельство перехода между кинетической (магнитное поле) и потенциальной (электрическое поле) энергиями электромагнитного поля. Механическая аналогия правомерна. Но сравнивать напрямую энергию локального объекта и плотность энергии поля – некорректно. Энергия электромагнитного поля
(22) (8π)–1∫(H²+E²)dV
относится к объему. Не следует удивляться тому, что в данной точке пространства плотность энергии электромагнитной волны то растет, то убывает. Интеграл (22) по всему объему сохраняется.
Не будем забывать также, что плоская волна (3) и (7) – математическая абстракция. Реальная волна E(x–ct), Н(x–ct) спадает на бесконечности быстрее, чем 1/x³, так, что интеграл (22) не расходится.
Согласно турбулентной модели вакуума [1, 2] (см. htm), магнитный вектор-потенциал пропорционален средней скорости светоносной среды
(23) Ai = κ<ui>
где κ – некоторый постоянный коэффициент. Электрическое поле соответствует силе, создаваемой турбулентными напряжениями,
(24) Ei = κ(∂1<ui'u2'>+∂2<ui'u2'>+∂3<ui'u3'>)
где ∂j – частная производная по xj.
Вся энергия вакуума – кинетическая. Согласно (23) и (24), следует различать энергию ламинарного течения, с плотностью
(25) ½ς(<u1>²+<u2>²+<u3>²)
где ς – плотность среды, и энергию турбулентности, с плотностью
(26) ½ς(<u1'u1'>+<u2'u2'>+<u3'u3'>)
Оба вида кинетической энергии, (25) и (26), принадлежат разным интегралам движения. Консервативной величиной, в которую входят (24) и производная (23), является интеграл (22) в поле кручения (6) вакуума [3] (см. htm).
Линейная волна возмущения турбулентности эфира моделирует электромагнитную волну. В общем случае бегущая волна турбулентности имеет вид
(27) <u> = lF(k·x–ωt)
(28) k·l = 0
(29) <ui'uj'>–<ui'uj'>0 = (c²/ω)(likj+ljki)F(k·x–ωt)
где F – некоторая функция, l – единичный вектор, поперечный направлению k распроcтранения волны, <ui'uj'>0 – фоновый уровень напряжений Рейнольдса [2] (см. htm). Форма (27), (28) описывает плоскую волну, независимо от её природы. Используя (29) в (26), получим с учетом (28)
(30)
<u1'u1'>+<u2'u2'>+<u3'u3'> = <u1'u1'>0+<u2'u2'>0+<u3'u3'>0
Согласно (30), плоская волна турбулентности не связана с возмущением турбулентной энергии.
[1] O.V.Troshkin, Perturbation waves in turbulent media, Physica A, 168, 881 (1990).
[2] В.П. Дмитриев, Механический эквивалент электромагнитных полей и частиц, ЖВМ и МФ, 1999, т.39, № 7, стр.1188-1195.
[3] V. P. Dmitriyev, Elasticity and electromagnetism, Meccanica 39 No 6: 511–520, 2004.
©VPDmitriyev
Резюме. В бегущей волне электрическое и магнитное поля синфазны. В стоячей волне они сдвинуты по отношению друг к другу на четверть периода.
Электромагнитная волна соответствует волне возмущения турбулентности светоносной среды. Турбулентная энергия турбулентной волны равна нулю.
Магнитный вектор-потенциал
Уравнение Максвелла в потенциалах
(1) (1/c)∂tA + E + gradφ = 0
Полагая φ=const, имеем из (1)
(2) E = – (1/c)∂tA
Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x. Тогда, если
(3) Ey = E0sin(kx–ωt)
получаем из (2)
(4) Ay = – A0cos(kx–ωt) = A0sin(kx–ωt+3π/2)
(5) A0 = E0c/ω
Из сравнения (3) и (4) видим, что магнитный вектор-потенциал отстает от электрического поля на четверть фазы.
Магнитное поле
Магнитное поле для плоской волны
(6) H = rotA = (∂yAz–∂zAy, ∂zAx–∂xAz, ∂xAy–∂yAx) = (0, 0, ∂xAy)
Подставляя (4) в (6)
(7) Hz = kA0sin(kx–ωt)
Из сравнения (3) и (7) видно, что в плоской волне электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу и синфазны.
Дисперсия волны
Рассматривая полную систему уравнений Максвелла, описывающую электромагнитную волну, можно найти зависимость частоты ω от волнового числа k. Беря ротор (1), получаем
(8) rotE = –(1/c)∂tH
Второе уравнение Максвелла
(9) rotH = (1/c)∂tE
Применяя выражение (6) для ротора к электрическому полю и
подставляя его в (8)
(10) ∂xEy = –(1/c)∂tHz
Аналогично уравнение (9) будет
(11) – ∂xHz = (1/c)∂tEy
Ищем частное решение уравнений (10), (11) в виде
(12) Ey = E0exp[i(kx–ωt)]
(13) Hz = H0exp[i(kx–ωt)]
Подставляя (12) и (13) в (10) и (11), находим закон дисперсии для волны в вакууме
(14) ω = kc
и равенство амплитуд
(15) E0 = H0
Стоячая волна
Бегущая электромагнитная волна описывается следующими формами, удовлетворяющими уравнениям (10) и (11),
(16) Ey' = E0sin[k(x–ct)]
(17) Hz' = E0sin[k(x–ct)]
и
(18) Ey'' = E0sin[k(x+ct)]
(19) Hz'' = E0sin[k(x+ct)+π]
Для моделирования стоячей волны возьмем суперпозицию (16), (17) и (18), (19):
(20) Ey = Ey'+Ey''= E0{sin[k(x–ct)]+sin[k(x+ct)]} =
= 2E0sin(kx)cos(kct))
(21) Hz = Hz'+Hz''= E0{sin[k(x–ct)]+sin[k(x+ct)+π]} =
= 2E0sin(kx+π/2)cos(kct+π/2)
Согласно (20) и (21), в стоячей волне электрическое и магнитное поля сдвинуты на π/2.
 | Красным цветом показано электрическое поле Ey. Синим цветом показано магнитное поле Hz. Плоскости колебаний XY и XZ совмещены с плоскостью рисунка. Ось X направлена вправо, ось Y направлена вверх, ось Z направлена вниз. |
Сохранение электромагнитной энергии
Иногда привлекают аналогию с механическим маятником, истолковывая сдвиг по фазе в (20) и (21), как свидетельство перехода между кинетической (магнитное поле) и потенциальной (электрическое поле) энергиями электромагнитного поля. Механическая аналогия правомерна. Но сравнивать напрямую энергию локального объекта и плотность энергии поля – некорректно. Энергия электромагнитного поля
(22) (8π)–1∫(H²+E²)dV
относится к объему. Не следует удивляться тому, что в данной точке пространства плотность энергии электромагнитной волны то растет, то убывает. Интеграл (22) по всему объему сохраняется.
Не будем забывать также, что плоская волна (3) и (7) – математическая абстракция. Реальная волна E(x–ct), Н(x–ct) спадает на бесконечности быстрее, чем 1/x³, так, что интеграл (22) не расходится.
Энергия вакуума
Согласно турбулентной модели вакуума [1, 2] (см. htm), магнитный вектор-потенциал пропорционален средней скорости светоносной среды
(23) Ai = κ<ui>
где κ – некоторый постоянный коэффициент. Электрическое поле соответствует силе, создаваемой турбулентными напряжениями,
(24) Ei = κ(∂1<ui'u2'>+∂2<ui'u2'>+∂3<ui'u3'>)
где ∂j – частная производная по xj.
Вся энергия вакуума – кинетическая. Согласно (23) и (24), следует различать энергию ламинарного течения, с плотностью
(25) ½ς(<u1>²+<u2>²+<u3>²)
где ς – плотность среды, и энергию турбулентности, с плотностью
(26) ½ς(<u1'u1'>+<u2'u2'>+<u3'u3'>)
Оба вида кинетической энергии, (25) и (26), принадлежат разным интегралам движения. Консервативной величиной, в которую входят (24) и производная (23), является интеграл (22) в поле кручения (6) вакуума [3] (см. htm).
Волна возмущения турбулентности
Линейная волна возмущения турбулентности эфира моделирует электромагнитную волну. В общем случае бегущая волна турбулентности имеет вид
(27) <u> = lF(k·x–ωt)
(28) k·l = 0
(29) <ui'uj'>–<ui'uj'>0 = (c²/ω)(likj+ljki)F(k·x–ωt)
где F – некоторая функция, l – единичный вектор, поперечный направлению k распроcтранения волны, <ui'uj'>0 – фоновый уровень напряжений Рейнольдса [2] (см. htm). Форма (27), (28) описывает плоскую волну, независимо от её природы. Используя (29) в (26), получим с учетом (28)
(30)
<u1'u1'>+<u2'u2'>+<u3'u3'> = <u1'u1'>0+<u2'u2'>0+<u3'u3'>0
Согласно (30), плоская волна турбулентности не связана с возмущением турбулентной энергии.
Литература
[1] O.V.Troshkin, Perturbation waves in turbulent media, Physica A, 168, 881 (1990).
[2] В.П. Дмитриев, Механический эквивалент электромагнитных полей и частиц, ЖВМ и МФ, 1999, т.39, № 7, стр.1188-1195.
[3] V. P. Dmitriyev, Elasticity and electromagnetism, Meccanica 39 No 6: 511–520, 2004.
