aethermeister (![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small} aethermeister) wrote,@ 2006-05-01 13:29:00 |
|
Потенциал Льенара-Вихерта: элементарный вывод
Резюме. Запаздывающий потенциал точечного электрического заряда рассчитан как предельный случай равномерно заряженного отрезка – когда отрезок стягивается в точку.
В лоренцевой калибровке скалярный потенциал φ распространяется с конечной скоростью c. Поэтому для вычисления потенциала в некоторой фиксированной точке, находящейся на расстоянии r(t) от движущегося электрического заряда q, мы должны рассчитать его значение для расстояния
(1) r' = r(t')
в более ранний момент t' времени:
(2) t–t' = ∫dl/υ от r' до r
где l – расстояние вдоль траектории заряда и υ – скорость заряда. Так что за время t–t' сигнал, испущенный из точки r', как раз успевает достичь находящейся в начале координат точки наблюдения:
(3) t–t' = r'/c
Однако, при вычислении потенциала выясняется, что в формулу Кулона следует дополнительно ввести множитель:
(4) φ = κq/r'
Нахождение κ из элементарных соображений и является целью настоящей работы.
В соответствии с (3), общая форма для расчета скалярного потенциала, созданного в начале координат распределением электрических зарядов с плотностью ρ(r, t), выглядит следующим образом
(5) φ = ∫ρ(ξ, t–ξ/c)dξ/ξ
где dξ – элемент объема возле точки ξ. Интеграл (5) берется в пределах, даваемых условиями типа (2). Для точечного заряда, когда
(6) ρ = δ(ξ–r(t))
интеграл (5) может быть вычислен в форме (4). Ниже я элементарным способом покажу, что в (4)
(7) κ = 1–υr'/c
где υr' – проекция скорости заряда v(t') на радиус-вектор r', направленный из точки расположения заряда в начало координат.
Сначала рассчитаем потенциал для одномерной системы и затем обобщим на три измерения. Пусть равномерно заряженный отрезок AB постоянной длины
(8) xB'–xA' = xB–xA
движется вдоль оси x. Измеряем потенциал в начале координат. В запаздывающий момент t' времени левый конец отрезка находился в положении xA'
(9) t'=t–|xA'|/c
Правый конец отрезка в запаздывающий момент t'' времени находился в положении xB''
(10) t''=t–|xB''|/c
Пусть для определенности xA'>0 и xB''>0. Вычитая (10) из (9)
(11) t'–t''= (xB''–xA')/c
Нас интересует предельный случай, когда отрезок стягивается в точку
(12) xB → xA = x
При этом t''→ t' и можно записать
(13) xB'' = xB' + υ'(t''–t')
Складывая (13) и (8)
(14) xB–xA = xB''–xA' + υ'(t'–t'')
Таким образом, в запаздывающем потенциале исходный отрезок AB эффективно преобразовался в отрезок A'B'' другой длины при сохранении плотности заряда. Подставляя (11) в (14), найдем при условии (12)
(15) κ = (xB''–xA')/(xB–xA) = 1/(1+υ'/c')
Если отрезок находится слева от точки наблюдения, начала координат, то в (15) знак перед υ' должен быть изменен на противоположный.
Из (9) и (10) видно, что имеет значение только расстояние r' от заряда до точки наблюдения потенциала. Соответственно, в (13) и (14) присутствует только проекция υr' скорости v' на радиус-вектор r', проведенный из точки расположения заряда в точку наблюдения потенциала. Таким образом с учетом знака в (15) формула (4), (7) будет выглядеть в общем случае, как
(16) φ = q/(r'–r'v'/c)
Пусть v=const. Тогда, если заряд движется вдоль оси x, то
(17) r' = (x–υt', y, z)
Подставляя (17) и (3) в знаменатель (16)
(18) r'–r'v'/c = c(t–t')–(x–υt')υ/c = c[t–υx/c²–(1–υ²/c²)t']
Комбинируя (3) и (17)
(19) c²(t–t')²=(x–υt')²+ y²+z²
Решая (19), как квадратное уравнение относительно t',
(20) (1–υ²/c²)t' = t–υx/c²–[(x–υt)²+(1–υ²/c²)(y²+z²)]1/2/c
где знак минус перед корнем выбран в соответствии со знаком (18). Используя (20) в (18)
(21) r'–r'v'/c = [(x–υt)²+(1–υ²/c²)(y²+z²)]1/2
Подставляя (21) в (16), получаем
(22) φ = γq/[γ²(x–υt)²+y²+z²]1/2
где
(23) γ = 1/(1–υ²/c²)
1 May 2006
Резюме. Запаздывающий потенциал точечного электрического заряда рассчитан как предельный случай равномерно заряженного отрезка – когда отрезок стягивается в точку.
Введение
В лоренцевой калибровке скалярный потенциал φ распространяется с конечной скоростью c. Поэтому для вычисления потенциала в некоторой фиксированной точке, находящейся на расстоянии r(t) от движущегося электрического заряда q, мы должны рассчитать его значение для расстояния
(1) r' = r(t')
в более ранний момент t' времени:
(2) t–t' = ∫dl/υ от r' до r
где l – расстояние вдоль траектории заряда и υ – скорость заряда. Так что за время t–t' сигнал, испущенный из точки r', как раз успевает достичь находящейся в начале координат точки наблюдения:
(3) t–t' = r'/c
Однако, при вычислении потенциала выясняется, что в формулу Кулона следует дополнительно ввести множитель:
(4) φ = κq/r'
Нахождение κ из элементарных соображений и является целью настоящей работы.
Общее соотношение
В соответствии с (3), общая форма для расчета скалярного потенциала, созданного в начале координат распределением электрических зарядов с плотностью ρ(r, t), выглядит следующим образом
(5) φ = ∫ρ(ξ, t–ξ/c)dξ/ξ
где dξ – элемент объема возле точки ξ. Интеграл (5) берется в пределах, даваемых условиями типа (2). Для точечного заряда, когда
(6) ρ = δ(ξ–r(t))
интеграл (5) может быть вычислен в форме (4). Ниже я элементарным способом покажу, что в (4)
(7) κ = 1–υr'/c
где υr' – проекция скорости заряда v(t') на радиус-вектор r', направленный из точки расположения заряда в начало координат.
Расчет в одном измерении
Сначала рассчитаем потенциал для одномерной системы и затем обобщим на три измерения. Пусть равномерно заряженный отрезок AB постоянной длины
(8) xB'–xA' = xB–xA
движется вдоль оси x. Измеряем потенциал в начале координат. В запаздывающий момент t' времени левый конец отрезка находился в положении xA'
(9) t'=t–|xA'|/c
Правый конец отрезка в запаздывающий момент t'' времени находился в положении xB''
(10) t''=t–|xB''|/c
Пусть для определенности xA'>0 и xB''>0. Вычитая (10) из (9)
(11) t'–t''= (xB''–xA')/c
Нас интересует предельный случай, когда отрезок стягивается в точку
(12) xB → xA = x
При этом t''→ t' и можно записать
(13) xB'' = xB' + υ'(t''–t')
Складывая (13) и (8)
(14) xB–xA = xB''–xA' + υ'(t'–t'')
Таким образом, в запаздывающем потенциале исходный отрезок AB эффективно преобразовался в отрезок A'B'' другой длины при сохранении плотности заряда. Подставляя (11) в (14), найдем при условии (12)
(15) κ = (xB''–xA')/(xB–xA) = 1/(1+υ'/c')
Если отрезок находится слева от точки наблюдения, начала координат, то в (15) знак перед υ' должен быть изменен на противоположный.
Обобщение на три измерения
Из (9) и (10) видно, что имеет значение только расстояние r' от заряда до точки наблюдения потенциала. Соответственно, в (13) и (14) присутствует только проекция υr' скорости v' на радиус-вектор r', проведенный из точки расположения заряда в точку наблюдения потенциала. Таким образом с учетом знака в (15) формула (4), (7) будет выглядеть в общем случае, как
(16) φ = q/(r'–r'v'/c)
Равномерное движение заряда
Пусть v=const. Тогда, если заряд движется вдоль оси x, то
(17) r' = (x–υt', y, z)
Подставляя (17) и (3) в знаменатель (16)
(18) r'–r'v'/c = c(t–t')–(x–υt')υ/c = c[t–υx/c²–(1–υ²/c²)t']
Комбинируя (3) и (17)
(19) c²(t–t')²=(x–υt')²+ y²+z²
Решая (19), как квадратное уравнение относительно t',
(20) (1–υ²/c²)t' = t–υx/c²–[(x–υt)²+(1–υ²/c²)(y²+z²)]1/2/c
где знак минус перед корнем выбран в соответствии со знаком (18). Используя (20) в (18)
(21) r'–r'v'/c = [(x–υt)²+(1–υ²/c²)(y²+z²)]1/2
Подставляя (21) в (16), получаем
(22) φ = γq/[γ²(x–υt)²+y²+z²]1/2
где
(23) γ = 1/(1–υ²/c²)
1 May 2006
