Испарение поры, диффузия разреженности и притяжение включений среды по закону обратных квадратов
Резюме. Пора испаряется в объем упруго-пластической среды, создавая радиальное распределение разреженности с плотностью ~ 1/r. Включение среды притягивается к испаряющейся поре по закону обратных квадратов.

Стационарный источник

Пусть в r' расположен источник газа, представляющий собой каплю жидкости, испаряющуюся в пустоту. Имеем закон сохранения вещества – уравнение непрерывности с точечным источником интенсивности q
(1)           ∂_tρ + Ñ·j = qδ(r–r')
где ρ – плотность газа. Поток газа
(2)           j = – νÑρ
где ν – коэффициент диффузии. Считаем, что система находится в стационарном режиме ∂_tρ = 0. Решая из (1) и (2) уравнение
(3)           – νѲρ = qδ(r–r')
находим
(4)           ρ = q/(4πν|r–r'|) + ρ₀
где ρ₀ – фоновая плотность газа.

Тело в радиальном диффузионном потоке

Пусть газ идеален:
(5)           p = ρkT
Подставляя (4) в (5), находим
(6)           p = qkT/(4πν|r–r'|) + p₀
На тело, помещенное в неравномерное поле давления (6), будет действовать сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния. В частности для малого сферического тела объема V получим
(7)           F = VqkT/[4πν(r–r')²]
(см. Приложение). Положительный знак (7) указываент на то, что тело отталкивается от центра испарения жидкости.

Испарение поры в объем среды

Рассмотрим включение пустоты в упруго-пластическую среду. Реально это включение будет существовать в виде пузырька газа, образованного из материала среды. Пустота дробится и диффундирует в объем среды, создавая облако разреженности вокруг испаряющейся поры. В соответствии с законом диффузии плотность ρ разреженности будет иметь вид (4). Тогда плотность ς среды должна быть дополнительной к (4)
(8)           ς = – q/(4πν|r–r'|) + ς₀
Для малых отклонений плотности среды от фонового значения ς₀ примем линейную зависимость
(9)           p–p₀ = c_g²(ς–ς₀)
где c_g² – упругая константа расширения среды. Подставляя (9) в (8)
(10)          p = – qc_g²/(4πν|r–r'|) + p₀
Выражение (10) аналогично (6) и отличается от него противоположным знаком давления. По аналогии с (7), на сферическое тело объема V, помещенное в поле давления (10), будет действовать сила
(11)          F = –Vqc_g²/[4πν(r–r')²]
В качестве тела выступает другое включение среды, в частности, полость, заполненная газом. Отрицательный знак (11) указывает на то, что включение притягивается к центру испарения пустоты. В этой системе сплошная среда играет роль термостата, что обеспечивает постоянство интенсивности источника q пустоты, коэффициента диффузии ν разреженности и упругой константы c_g².

Приложение

На сферическое тело радиуса R, помещенное в поле давления p(r), действует сила в направлении оси z
(A1)        F = – ∫pcosθ2πRsinθRdθ
Имеем из (A1) для закона (6) следующий интеграл от 0 до π
(A2)        I = – ∫(r²+R²+2rRcosθ)^–1/2cosθ2πRsinθRdθ
                = 2πR²∫(r²+R²+2rRζ)^–1/2ζdζ
где r – расстояние от центра сферы до источника диффузии, ζ=cosθ меняется в диапазоне от 1 до –1. Нам понадобится табличный интеграл
(A3)        ∫(a+bζ)^–1/2ζdζ = [(a+bζ)^3/2/3–a(a+bζ)^1/2]2/b²
Используя (A3) в (A2), находим
(A4)        I = V/r²
где V = 4πR³/3.

©VPDmitriyev