aethermeister (![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small} aethermeister) wrote,@ 2006-04-13 04:03:00 |
|
Уравнение волны
Резюме. Вывод уравнения распространения линейного возмущения упругой струны.
Тело массы m расположено на оси x в начале координат. Пусть при отклонении от точки x=0 на него действует сила
(1) F = – kx
где k – коэффициент пропорциональности, k>0. Тогда, в соответствии с классическим законом динамики, движение тела подчиняется уравнению
(2) md²x/dt² = – kx
Ищем решение уравнения (2) в форме
(3) x = x0sin(ωt)
Подставляя (3) в (2), находим, что амплитуда x0 колебаний (3) может быть произвольной, а частота
(4) ω = (k/m)1/2
Рассмотрим пружину или упруго-деформируемый стержень длины l. Согласно закону Гука, при малой деформации относительное удлинение или сжатие Δl/l стержня пропорционально приложенной к нему силе F
(5) Δl/l = F/f
где f – модуль упругости материала стержня, f>0.
Придадим обозначениям более общий характер. Пусть стержень расположен вдоль оси x. Обозначим начальную координату левого конца стержня x–, правого конца x. За время t смещение левого конца s(x–, t), смещение правого конца s(x, t), так что s(x–, 0) = s(x, 0) = 0. Тогда в соотношении (5)
(6) l = x –x–
(7) Δl = s(x, t)–s(x–, t) = Δs
Пусть к правому концу стержня прикреплено тело массы m. Пренебрежем массой стержня. Уравнение движения тела выглядит следующим образом
(8) m∂²s(x, t)/dt² = – f[s(x, t)–s(x–, t)]/(x–x–)
Это уравнение линейного осциллятора (2).
Пусть на массу m действует также аналогичный упругий стержень справа. Тогда в правой части (8) имеем дополнительную силу, так что уравнение движения будет
(9) m∂²s(x, t)/dt² = – f[s(x, t)–s(x–, t)]/(x–x–) + f[s(x+, t)–s(x, t)]/(x+–x)
Положим для простоты
(10) x–x– = x+–x = Δx
Разделим обе части (9) на Δx. В результате в правой части имеем конечно-разностное представление второй производной по x
(11) ∂²s(x)/∂x² ≈ {[s(x+)–s(x)]/Δx – [s(x)–s(x–)]/Δx}/Δx
Отнесем массу m к сегменту стержня длиной Δx. Тогда линейная плотность
(12) ς ≈ m/Δx
Устремляя Δx→0 и используя (11), (12) в (9), получим
(13) ς∂²s(x, t)/dt² = f∂²s(x, t)/∂x²
Уравнение (13) имеет следующее общее решение
(14) s = φ(x–cgt) + ψ(x+cgt)
Функция (14) описывает распространяющиеся вправо и влево со скоростью
(15) cg = (f/ς)1/2
сгущения или разрежения, которые имеют произвольные формы φ и ψ.
Возвращаясь к закону Гука, рассмотрим колебания крутильных весов. В этом случае роль относительного удлинения играет угол α кручения
(16) α = Δa/l
где l – длина рычага, к которому приложена сила, Δa – длина дуги кручения. Закон Гука для деформации кручения
(17) α = F/f'
где f' – модуль кручения.
Рассмотрим поперечные деформации упругой струны, расположенной вдоль оси x. Тогда, если (6) – рычаг силы, то для малых деформаций сдвиг h(x, t) точки в направлении оси y или z можно приравнять длине Δa дуги кручения:
(18) Δa ≈ Δh
Повторяя рассуждения §3, получим
(19) ς∂²h(x, t)/dt² = f'∂²h(x, t)/∂x²
Подобно 13, уравнение (19) имеет следующее общее решение
(20) h = θ(x–crt) + χ(x+crt)
Функция (20) описывает распространяющиеся вправо и влево со скоростью
(21) cr = (f'/ς)1/2
поперечные деформации, которые имеют произвольные формы θ и χ.
Объемная среда характеризуется трехмерным вектором смещения
(22) s(x1, x2, x3, t)
Производные ∂s1/∂x1, ∂s2/∂x2, ∂s3/∂x3 определяют относительные сжатия или растяжения по соответствующим осям декартовой системы координат. Рассчитаем изменение объема:
(23) ΔV = (Δx1+Δs1)(Δx2+Δs2)(Δx3+Δs3)–Δx1Δx2Δx2
Получаем из (23) для относительно малых деформаций
(24) ΔV/V → ∂s1/∂x1+ ∂s2/∂x2+∂s3/∂x3 = divs
Перекрестные производные определяют углы кручения среды. Пусть i≠j≠k. Угол кручения вокруг оси xk отложенного от начала координат малого отрезка Δxj
(25) αk = ∂si/∂xj
©VPDmitriyev
Резюме. Вывод уравнения распространения линейного возмущения упругой струны.
1. Линейный осциллятор
Тело массы m расположено на оси x в начале координат. Пусть при отклонении от точки x=0 на него действует сила
(1) F = – kx
где k – коэффициент пропорциональности, k>0. Тогда, в соответствии с классическим законом динамики, движение тела подчиняется уравнению
(2) md²x/dt² = – kx
Ищем решение уравнения (2) в форме
(3) x = x0sin(ωt)
Подставляя (3) в (2), находим, что амплитуда x0 колебаний (3) может быть произвольной, а частота
(4) ω = (k/m)1/2
2. Закон Гука
Рассмотрим пружину или упруго-деформируемый стержень длины l. Согласно закону Гука, при малой деформации относительное удлинение или сжатие Δl/l стержня пропорционально приложенной к нему силе F
(5) Δl/l = F/f
где f – модуль упругости материала стержня, f>0.
Придадим обозначениям более общий характер. Пусть стержень расположен вдоль оси x. Обозначим начальную координату левого конца стержня x–, правого конца x. За время t смещение левого конца s(x–, t), смещение правого конца s(x, t), так что s(x–, 0) = s(x, 0) = 0. Тогда в соотношении (5)
(6) l = x –x–
(7) Δl = s(x, t)–s(x–, t) = Δs
Пусть к правому концу стержня прикреплено тело массы m. Пренебрежем массой стержня. Уравнение движения тела выглядит следующим образом
(8) m∂²s(x, t)/dt² = – f[s(x, t)–s(x–, t)]/(x–x–)
Это уравнение линейного осциллятора (2).
3. Продольная волна
Пусть на массу m действует также аналогичный упругий стержень справа. Тогда в правой части (8) имеем дополнительную силу, так что уравнение движения будет
(9) m∂²s(x, t)/dt² = – f[s(x, t)–s(x–, t)]/(x–x–) + f[s(x+, t)–s(x, t)]/(x+–x)
Положим для простоты
(10) x–x– = x+–x = Δx
Разделим обе части (9) на Δx. В результате в правой части имеем конечно-разностное представление второй производной по x
(11) ∂²s(x)/∂x² ≈ {[s(x+)–s(x)]/Δx – [s(x)–s(x–)]/Δx}/Δx
Отнесем массу m к сегменту стержня длиной Δx. Тогда линейная плотность
(12) ς ≈ m/Δx
Устремляя Δx→0 и используя (11), (12) в (9), получим
(13) ς∂²s(x, t)/dt² = f∂²s(x, t)/∂x²
Уравнение (13) имеет следующее общее решение
(14) s = φ(x–cgt) + ψ(x+cgt)
Функция (14) описывает распространяющиеся вправо и влево со скоростью
(15) cg = (f/ς)1/2
сгущения или разрежения, которые имеют произвольные формы φ и ψ.
4. Поперечная волна
Возвращаясь к закону Гука, рассмотрим колебания крутильных весов. В этом случае роль относительного удлинения играет угол α кручения
(16) α = Δa/l
где l – длина рычага, к которому приложена сила, Δa – длина дуги кручения. Закон Гука для деформации кручения
(17) α = F/f'
где f' – модуль кручения.
Рассмотрим поперечные деформации упругой струны, расположенной вдоль оси x. Тогда, если (6) – рычаг силы, то для малых деформаций сдвиг h(x, t) точки в направлении оси y или z можно приравнять длине Δa дуги кручения:
(18) Δa ≈ Δh
Повторяя рассуждения §3, получим
(19) ς∂²h(x, t)/dt² = f'∂²h(x, t)/∂x²
Подобно 13, уравнение (19) имеет следующее общее решение
(20) h = θ(x–crt) + χ(x+crt)
Функция (20) описывает распространяющиеся вправо и влево со скоростью
(21) cr = (f'/ς)1/2
поперечные деформации, которые имеют произвольные формы θ и χ.
5. Дальнейшие обобщения для теории упругости
Объемная среда характеризуется трехмерным вектором смещения
(22) s(x1, x2, x3, t)
Производные ∂s1/∂x1, ∂s2/∂x2, ∂s3/∂x3 определяют относительные сжатия или растяжения по соответствующим осям декартовой системы координат. Рассчитаем изменение объема:
(23) ΔV = (Δx1+Δs1)(Δx2+Δs2)(Δx3+Δs3)–Δx1Δx2Δx2
Получаем из (23) для относительно малых деформаций
(24) ΔV/V → ∂s1/∂x1+ ∂s2/∂x2+∂s3/∂x3 = divs
Перекрестные производные определяют углы кручения среды. Пусть i≠j≠k. Угол кручения вокруг оси xk отложенного от начала координат малого отрезка Δxj
(25) αk = ∂si/∂xj
